约束变元与自由变元的差别较大，我们用如下的例子作直观说明。设E代表二元谓词"… = …"，c代表一个常量，考虑公式x1E(x1,c)与x2E(x1,c)。x1E(x1,c)中的x1是约束变元，意思是不论x1代表什么个体，此个体都与c相同。即个体域中只能有一个元素c；如将x1E(x1,c)中的x1都换成x2，得到的公式x2E(x2,c)与x1E(x1,c)具有相同的含义，代表了相同的判断，就是说，x1E(x1,c)代表的判断与x1无关，只与个体域有关，若个体域中只有唯一的一个个体，则此判断正确，否则此判断错误。但x2E(x1,c)中的x1是自由变元，此公式的意思是说：不论x2代表什么样的个体，x1代表的个体与c相同，从而这个公式代表的判断与自由变元x1代表的个体有关（与约束变元x2无关）。 上面的注记也告诉我们，如果要将公式中的某个变元符号换为另外一个变元符号或甚至换为某个项而且使得公式的含义不变，必须十分小心变元符号的出现自由与否。 另外，还需要指出一点， (x)P(x)和 (y)P(y)含义是一样的，或说不管P(x)如何，都有 (x)P(x)= (y)P(y) 这是不难理解的，因为在同一论域D上，对一切x，x具有性质P，同对一切y, y具有性质P，除变元x和y的区别外并无差异，从而(x)P(x)与(y)P(y)有相同的真值。这个关系可称作变元易名规则。