例题1 　　证明(Q∧(P→Q))→P成立。 　　证明 　　(1) Q∧(P→Q)P (写成相继式) 　　(2) Q, (P→Q)P (∧) 　　(3) P→QQ,P () 　　(4) QQ,P而且Q,P, P (→) 　　(5) P, QQ 而且PQ, P () 　　由(5)中的两个相继式均已无联结词, 而且在的两端都有共同命题变项了, 从而都是公理。定理得证。 　　这里我们给出一个比较复杂的例子。 例题2 　　证明((P∨Q)∧(P→R∧(Q→S))→(S∨R) 成立。 　　证明 　　(1) (P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)S∨R (写成相继式) 　　(2) P∨Q, P→R, Q→SS∨R (∧) 　　(3) P∨Q， P→R, Q→SS, R (∨) 　　(4a) P, P→R, Q→SS, R而且(4b) Q, P→R, Q→SS, R (∨) 　　(5a) P, R, Q→SS, R 而且(5b) P, Q→SP, S, R ((4a))→) 　　(6a) P, Q, SS, R 而且(6b) P, RQ, S, R ((5a)→) 　　(7a) P, SP, S, R 而且(7b) PQ, P, S, R (5b)→) 　　(8a) Q, R, Q→SS, R 而且(8b) Q, Q→SP, S, R ((4b)→) 　　(9a) Q, R, SS, R 而且(9b) Q, RQ, S, R (8a)→) 　　(10a) Q, SP, S, R 而且(10b) QQ, P, S, R ((8b)→) 　　由(6a)(6b)(7a)(7b), (9a)(9b)(10a)(10b)均为公理, 从而定理成立。证明过程如下图所示, 图中的圆弧表"与"。