设A是任一重言式,需说明它在公理系统中是可证明的、或说是个定理,或说├A成立。
  先将A写成与之等值的合取范式
  A1∧A1∧…∧An
  其中Ai必为π∨π∨B的形式 (i = 1, …, n), p是命题变项。依公理系统
  ├P∨P, ├P∨P∨Q
  都成立, 从而├Ai (i = 1, …, n) 。
  又依 ├P→(Q→P∧Q)
  使用分离规则可得
  ├A1∧A2∧…∧An
  而A是A1∧A2∧…∧An, 故A可证明。
  这个证明是简单的,然而完备性的问题却很重要。
  完备性指的是所建系统,所推演出的定理少不少?当然还可问所建系统,所推演出的定理多不多,即非重言式或说不成立的定理是否也可推出来?这是可靠性问题,不可靠的系统是不能使用的。

  对定理┝ P →(Q→ P∧Q)的证明
证明
  (1)┝ P ∨P (定理3.2.4)
  (2)┝(P∨Q)∨(P∨Q) (1)代入P/(P∨Q)
  (3)┝(P∨Q)∨(P∧Q) (2) 定义2
  (4)┝P∨Q∨(P∧Q) 括号省略规则
  (5)┝ P →(Q→ P∧Q) (4) 定义1