先将A写成与之等值的合取范式
A1∧A1∧…∧An
其中Ai必为π∨
π∨B的形式
(i = 1, …, n), p是命题变项。依公理系统├P∨
P,
├P∨P∨Q都成立, 从而├Ai (i = 1, …, n) 。
又依 ├P→(Q→P∧Q)
使用分离规则可得
├A1∧A2∧…∧An
而A是A1∧A2∧…∧An, 故A可证明。
这个证明是简单的，然而完备性的问题却很重要。
完备性指的是所建系统，所推演出的定理少不少？当然还可问所建系统，所推演出的定理多不多，即非重言式或说不成立的定理是否也可推出来？这是可靠性问题，不可靠的系统是不能使用的。
对定理┝ P →(Q→ P∧Q)的证明
证明| （1）┝ P ∨P |
（定理3.2.4） |
| （2）┝(P∨Q)∨(P∨Q)
|
(1)代入P/(P∨Q) |
| （3）┝(P∨Q)∨(P∧Q) |
(2) 定义2 |
| （4）┝P∨Q∨(P∧Q) |
括号省略规则 |
| （5）┝ P →(Q→ P∧Q) | (4) 定义1 |