我们使用另外一种方法来证明例5。
例题
例5: 证明
( (P→Q)→ (R∨S))∧((Q→P)∨ R)∧R
=> (P Q)
证明
证明:(教材中的证明用了15个步骤,这里用一种简化方法)
(Q→P)∨ R |
前提引入 |
R→(Q→P) |
(1)置换 |
R |
前提引入 |
Q→P |
(2) (3) 分离 |
(P→Q)→ (R∨S) |
前提引入 |
(R∨S)→(P→Q) |
(5) 置换 |
R∨S |
(3) + 基本公式4 |
P→Q |
(6) (7) 分离 |
P Q |
(4) (8) |
可以看到,这种方法比教材里要简单一些。
从这些例子可以看出,一个推理过程,或说A B的一个明,
是由一些公式的序列所组成, 其中每个公式是前提, 或是中间结果, 或是最后结论。
我们再来看一个利用推理规则解决实际问题的例子。
例题
例6 构造下面推理的证明:如果小张守第一垒并且小李向B队投球,则A队将获胜。或者A队未取胜,或者A队成为联赛第一名。A队没有成为联赛的第一名。小张守第一垒。因此,小李没向B队投球。
解:先将简单命题符号化。
P:小张守第一垒;
Q:小李向B队投球;
R:A队取胜;
S:A队成为联赛第一名。
前提:(P∧Q)→R, R∨S, S,P
结论: Q
证明:用归谬法
(1) Q |
结论的否定引入 |
(2) R∨S |
前提引入 |
(3) S |
前提引入 |
(4) R |
(2)(3)析取三段论 |
(5) (P∧Q)→R |
前提引入 |
(6) (P∧Q) |
(4)(5)拒取式 |
(7) P∨ Q |
(6)置换 |
(8) P |
前提引入 |
(9) Q |
(7)(8)析取三段论 |
(10) Q∧ Q |
(1)(9)合取 |
由于最后一步Q∧ Q
= F,即(((P∧Q)→R)∧( R∨S)∧ S∧P)∧Q
= F,所以推理正确。 |