例题1 　　证明R是P→Q, Q→R, P的逻辑推论。 　　证明 　　(1) P 前提引入 　　(2) P→Q 前提引入 　　(3) Q (1)(2)分离规则(I8, 假言推理) 　　(4) Q→R　 前提引入 　　(5) R (3)(4) 分离规则(I8, 假言推理) 例题2 　　证明R∨S可以由前提C∨D, (C∨D)→E, E→(A∧B), (A∧B)→(R∨S)推演出来。 　　(1) (C∨D)→E 前提引入 　　(2) E→(A∧B) 前提引入 　　(3) (C∨D)→(A∧B) (1) (2)假言三段论(I10) 　　(4) (A∧B)→(R∨S) 前提引入 　　(5) (C∨D)→(R∨S) (3) (4)假言三段论(I10) 　　(6) C∨D 前提引入 　　(7) R∨S (5) (6)分离规则(I8, 假言推理) 　　这个例子中出现A、B、C、D、E、R、S 7个命题变项, 列写真值表就有27 = 128行, 其繁琐程度可想可知, 使用真值表法实现这个证明是太繁了。若要证明 　　(C∨D)∧((C∨D)→E)∧(E→(A∧B))∧((A∧B)→(R∨S))→(R∨S) 　　为重言式也是相当复杂的。 例题3 　　证明(P∨Q)∧(P→R)∧(Q→S)S∨R 　　证明 　　(1) P∨Q 前提引入 　　(2) P→Q (1)置换 　　(3) Q→S 前提引入 　　(4) P→S (2) (3) 假言三段论 　　(5) S→P (4) 置换 　　(6) P→R 前提引入 　　(7) S→R (5) (6) 假言三段论 　　(8) S∨R (7) 置换 　　这个例子说明, 证明过程中, 将P∨Q写成P→Q更便于推理。 例题4 　　证明(P→(Q→S))∧(R∨P)∧QR→S。 　　证明 　　(1) R∨P 前提引入 　　(2) R→P (1) 置换 　　(3) R 附加前提引入(规则6, 条件证明规则) 　　(4) P (2) (3) 分离规则 　　(5) P→(Q→S) 前提引入 　　(6) Q→S (4) (5) 分离规则 　　(7) Q 前提引入 　　(8) S (6) (7) 分离规则 　　(9) R→S 条件证明规则 　　这例子说明使用条件证明规则, 将结论R?S中的R作为前提, 来证明S简化了证明过程。 例题5 　　证明((P→Q)→(R∨S))∧((Q→P)∨R)∧R(PQ) 　　证明 　　(1) (PQ) 附加前提(要证公式的否定)引入 　　(2) ((P→Q)∧(Q→P)) (1) 置换 　　(3) (P→Q)∨(Q→P) (2) 置换 　　(4) (Q→P)→(P→Q) (3) 置换 　　(5) (P→Q)→(R∨S) 前提引入 　　(6) (Q→P)→(R∨S) (4) (5)假言三段论 　　(7) (Q→P)∨R 前提引入 　　(8) R→(Q→P) (7) 置换 　　(9) R→(R∨S) (6) (8) 假言三段论 　　(10) R 前提引入 　　(11) (R∨S) (9) (10) 分离规则 　　(12) R∧S (11) 置换 　　(13) R (12) 　　(14) R∧R (10) (13) 　　(15) 矛盾 (14) 置换 　　这个证明过程，使用了定理2.8.2。