将以自然语句描述的推理关系,
引入符号, 抽象化并以条件式表示出来便得一种推理形式。![]() 如果今天我病了, 那么我没来上课。 今天我病了。 所以今天我没来上课。 这是自然语句给出的三个命题,有前提有结论,表示了一种推理关系。 引入符号,以P表示"今天我病了", Q表示"我没来上课"(则第一个自然语句表示为P→Q)。便可将这推理关系以条件式 ((P→Q)∧P)→Q 来表示。 也可以用图式表示: ![]() ![]() 这个条件式或图式就是一推理形式。说明如果P真, P→Q真, 就可推得Q真, 这里的P、Q可表任意命题, 从而推理形式 ((P→Q)∧P)→Q 反映了一类推理关系。 ![]() 如果P, 则Q。 非P。 所以非Q。 以条件式述这种推理关系,得推理形式 ((P→Q)∧ ![]() ![]() 说的是, 如果P→Q真, P假就可推得Q假。自然这推理形式也反映了一类推理关系。 ![]() 如果P, 则Q。 非Q。 所以非P。 同样以条件式描述这种推理关系, 得推理形式 ((P→Q)∧ ![]() ![]() 表明, 如果P→Q真而Q假, 就可推得P假。同样这类推理形式反映的是一类推理关系。 由于推理形式由前提和结论部分组成,使用蕴涵词→表示的条件式是自然的,因为→可描述因果关系。 按例1-3建立推理形式的办法,可以引入任意多个推理形式。自然要问它们都是正确的吗? 不正确的推理形式不是逻辑规律,只有正确的推理形式才是有意义的,才能用来作推理。 不难理解,例1和例3所建立的推理形式 ((P→Q)∧P)→Q ((P→Q)∧ ![]() ![]() 是正确的。 而例2建立的推理形式 ((P→Q)∧ ![]() ![]() 是不正确的。 推理一般分为两类:演绎推理和归纳推理。凡前提和结论存在必然联系的推理属于演绎推理,否则属于归纳推理。古典的数理逻辑主要研究演绎推理,如无特殊说明,本书的推理都指演绎推理。 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。所谓推理是指从前提出发推出结论的思维过程,而前提是已知命题公式集合,结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。要研究推理就应该给出推理的形式结构,为此,首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的,即给定一组命题形式α1,α2,…,αn推出结论β的推理是正确的呢?直观的理解应该是:如果α1,α2,…,αn全真,则β也真;但是如果α1,α2,…,αn中有一个不真,那么β为真还是为假才是正确的呢?对这个问题的争议类似于对"P→Q"真假取值法的争议。如同对"P→Q"的做法一样,我们规定:若α1,α2,…,αn中有一个为假,不论β为真还是为假,由α1,α2,…,αn推出β都是一个正确的推理。亦即我们只要求从α1,α2,…,αn都真时能推出β为真,而不要求从假前提能得出什么结论来。这样的规定是符合习惯的。 由上分析,我们可以给出关于推理的如下定义: 设α1,α2,…,αn,β都是命题形式,称推理"α1,α2,…,αn"推出β是有效的,如果对α1,α2,…,αn,β中出现的命题变项的任一指派,若α1,α2,…,αn都真,则β亦真,否则,称"由α1,α2,…,αn推出β"是无效的或不合理的。 另外,在推理形式中,推理形式的有效与否与前提中命题形式的排列次序无关。 |