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2.2.节所给出的基本等值公式中, 有些形式上看是很"相像"的,考查一下这些"相像"性是有益的。希望一个公式的成立,必然导出和它"相像"的公式的成立。如果是这样的话,对等值公式的讨论可得到相当的简化。另外,从逻辑关系上看,这也是一种逻辑规律,是我们所感兴趣的。
这节所讨论的命题公式A, 假定其中仅出现 ,
∨, ∧这三个联结词。
定义 将A中出现的∨、∧、T、F分别以∧、∨、F、T代换, 得到公式A*, 则称A*是A的对偶式, 或说A和A*互为对偶式。
节2.2.1中有许多对偶式出现, 如
(P∨Q)∧R 的对偶式为(P∧Q)∨R
P∨F 的对偶式为P∧T
不难知道, 若
(P∨Q)∧R = (P∧R)∨(Q∧R)
成立, 相应的对偶式
(P∧Q)∨R = (P∨R)∧(Q∨R)
也成立。
为方便, 若A=A(P1, …, Pn)
令 A-= A( P1,
…, Pn)
定理 2.5.1 (A*)
= ( A*),
(A-)
= ( A)-
定理 2.5.2 (A*)* = A, (A-)-=A
定理 2.5.3 A
= A* -
定理 2.5.4 若A = B必有A*=B*
定理 2.5.5 若A→B永真, 必有B*→A*永真
定理 2.5.6 A与A-同永真, 同可满足
A与A*同永真,
同可满足
对偶性是逻辑规律, 给证明公式的等值和求否定都带来了方便。
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