我们来证明一下定理2.5.3。可用数学归纳法, 施归纳于A中出现的联结词个数n来证明
证明
  基始: 设n=0, A中无联结词, 便有
A=P, 从而 A = P
但 A*- = P
∴ n=0时定理成立。
归纳: 设n ≤k时定理成立,来证n = k + 1时定理也成立
∵ n = k + 1 ≥1, A中至少有一个联结词,可分为三种情形。
A = A1, A = A1∧A2, A = A1∨A2
其中A1, A2中联结词个数≤k。
依归纳法假设,A1 = A1*-, A2 = A1*-
当 A = A1时。
A = (A1)
= (A1*-) 归纳法假设
= (A1)*- 定理2.5.1, 2.5.2
= A*-
当 A = A1∧A2时。
A = (A1∧A2)
= A1A2 摩根律
= A1*-∨A2*- 归纳法假设
= (A1*∨A2*)- A-定义
= (A1∧A2)*- A*定义
= A*-
从而定理得证。这定理实为摩根律的另一种形式。它把、S、-联系起来了。

证明2.5.4
  证明: 因为A = B等价于AB 永真。
  从而AB 永真。
  依定理2.5.3, A = A*-, B = B*-
  于是 A*-B*- 永真
  必有 A*B* 永真
  故 A* = B*