在前一节，我们学习了一种新的系统特性表征法---传递函数，并对它与系统的激励与响应之间的关系、系统的单位冲激响应，以及系统的差分方程之间的联系，作了讨论。既然传递函数能够表达系统的特性，那我们就来看一看如何利用传递函数来分析的研究系统的某些特性，如系统的稳定性和因果性。

　　（1）传递函数的ROC与系统的稳定性和因果性的关系

　　在前面，我们对于系统的稳定性与因果性，是从系统的单位冲激响应来分析的。既然传递函数是单位冲激响应的Z变换，那么从传递函数也就可以分析系统的稳定性与因果性。

　　我们首先来看系统的因果性与传递函数的关系。

　　对于线性时不变系统，如果要求它是因果系统，则要求它的单位冲激响应满足下面的条件

　　这是我们在前面学习过的。显然，按上面的要求，实际上是要求系统的单位冲激响应h(n)为因果信号。由于传递函数H(z)是h(n)的Z变换，所以，根据Z变换的性质，h(n)是否为因果信号，与H(z)收敛域的情况有直接的关系，即

　　结论1   离散线性时不变系统是因果系统的充要条件是：传递函数的ROC是某个圆外部的区域，且包括无穷远点。

　　然后，我们来看一看系统的稳定性与传递函数的关系。

　　根据我们在前面所学习的，如果要求系统是稳定系统，则要求系统的单位冲激响应满足下面的条件

　　同样，由于传递函数H(z)是单位冲激响应的Z变换，而对于Z变换，收敛域是根据级数收敛的要求求出来的。在第四章里讨论Z变换的收敛域时，我们讲过，根据级数理论， 收敛的充要条件是

　　对于系统稳定性对单位冲激响应h(n)的要求，考虑到 代表的是Z平面上的单位圆，我们不难得到下面的结论，即

　　结论2　离散线性时不变系统是稳定系统的充要条件是：传递函数的ROC包括单位圆。

　　通常，我们希望离散线性时不变系统既是稳定的，又是因果的。由于因果系统已经要求ROC是圆外部分，而稳定系统又要求ROC含有单位圆，所以至少要求单位圆外的部分是在ROC中。而由Z变换的收敛域特性可知，ROC是以极点为边界的，且不能含任何的极点，因此，传递函数的所有极点都必须在单位圆内，这样的系统才能同时满足稳定性与因果性的要求。这时，系统传递函数的ROC与其极点的相对关系如下图所示：