4.5.4 序列指数加权（z域尺度变换）

　　如果是对序列在时域进行指数加权，则相当于在Z域进行尺度变换。

　　若已知

　　则

　　其中a为非零常数。

　　证明：根据Z变换的定义，可得

　　所以

　　由上式可见，x(n)乘以指数序列后，收敛域在z域内会发生尺度展宽或压缩。对于这种Z域的尺度变换，我们还可以从零极点位置的变化来进行分析。

　　下面我们来看看在Z平面上，序列乘以指数序列后，Z变换零极点位置的变化情况。

　　假设原序列Z变换X(z)在z=z₁处有一极点，则序列乘以指数序列后的Z变换X(a^-1z)将在a^-1z=z₁,即z=az₁处有一极点。也就是说：

　　(a) 如果a是一个正实数，则表示z平面的缩小或扩大，零极点在z平面上沿径向（即零极点与原点连线的方向）移动；

　　(b) 如果a为单位圆上的复数（模为1），则表示在z平面上旋转，即零极点位置沿着以原点为圆心以 为半径的圆周变化；

　　(c) 如果a为任意复数，则在z平面上，零极点的变化既有幅度伸缩，又有角度旋转。

　　利用上面所得的性质，我们容易推出下列关系式

　　这些结论有时会很有用。