4.2 Z变换的定义

　　前面我们简要叙述了Z变换的作用与其历史，下面我们将给出Z变换的定义。对Z变换的定义，可以借助于抽样信号的拉氏变换来引出，也可以直接对离散信号进行Z变换的定义，即给出Z变换公式。

　　引入Z变换概念的方法很多，既可以从理想抽样数据信号(或简称理想抽样信号)的拉氏变换引出，也可以独立地对离散时间信号(序列)给定Z变换定义。在本课程里，我们将直接给出序列的Z变换的定义。

　　Z变换的定义：

　　若序列为 ，则称下面的幂级数

　　是序列x(n)的Z变换(ZT)，其中z为复变量，而X(z)则是一个复变函数。

　　以后我们会发现，z^-n代表了时延，而z^-1代表了单位时延。这里的级数存在是有条件的，并不是所有的序列都能够进行Z变换。为什么？我们后面在Z变换的收敛域中将详细进行说明。

　　通常，我们还可以将x(n)的z变换表示为

　　在式（4-1）中定义的Z变换称作双边Z变换。如果限制下标变量n的取值顺序为非负值，则可以引入单边Z变换如下

　　显然，由于下标n的取值只能为非负值，所以如果序列是因果序列的话，则由于n<0时x(n)=0，于是单边Z变换和双边Z变换相等。如果不是因果序列，则其单边Z变换与双边Z变换就不相等。

　　在本课程中，如果不会引起混淆，则将不区分双边Z变换与单边Z变换。只有在需要避免混淆时，才明确提到双边z变换及单边z变换。

　　复变函数 的逆Z变换(IZT)为

　　　　　　　　　　　　　　　

　　关于IZT的求解方法，我们将在后面进行介绍。

　　通常称 与 为一对Z变换对，并简记为

 或

　　它们既可以表示双边Z变换(4.2)，又可以表示单边Z变换(4.6)。

　　为叙述方便，以后我们称整个Z平面上的点构成的取值范围为Z域，而把基于ZT的对信号或系统的分析方法，称为Z域分析。