可以看出，上面的积分结果是( + j)的函数，令其为 ，则

　　相应的傅里叶变换反变换为

　　两端乘以 ，可得

　　为方便起见，引入复变量S= +j，对上面的傅里叶变换与反变换进行变量替换，可得

 (1a)

      　　由于为常数，因此 ，故反变换可改写为

 (1b)

　　好了，我们已经从F(s)求出了原信号f(t)了。换句话说，就是我们已经建立了原函数f(t)与变换结果函数F(s)之间的一一对应关系了。

　　式(1a)与(1b)常被称为双边拉氏变换。(1a)式表示正变换，简记为LT，式中的F(s)称为f(t)的双边拉氏变换，或称象函数；(1b)式表示拉氏逆变换，也称拉氏反变换，简记为ILT，式中f(t)为F(s)的拉氏逆变换，或称原函数。

　　因为变换操作可以视为原信号按变换式进行映象过程，所以把被变换的信号称为“原”函数，而把变换的结果称为“象”函数。

　　通常用记号 表示f(t)取双边拉氏变换，记为 ，以 表示取双边拉氏逆变换。

　　于是，双边拉氏变换定义式(1a)和(1b)可改写为：

及

　　实际问题中所遇到信号都有起始时刻，若假设其起始时刻为时间坐标的原点(t=0)，于是t<0时，f(t)=0。这样的信号是因果信号。请加超级链接指向第一章中关于因果信号的定义处。

　　也即在t<0的区间内被变换的信号f(t)等于零，那么傅里叶变换积分限中小于零的部分就可以直接去掉了，积分的下限从零开始。当然，相应的逆变换求解也就只需要在时间非负的区间内进行，因为要求的信号是因果信号嘛。什么是因果信号？我们在第一章已经学习过了。