2.8.2 一般周期信号的FT

　　下面我们研究一般周期信号的FT。

　　设周期信号f(t)的周期为T₁，可以将f(t)展成复指数形式的FS

　　　　　　　(2-39)

　　式中的₁=2/T₁，是信号的基波角频率，F_n是傅里叶系数，可认为是已知的。

　　对上式两边取FT，并利用FT的线性与频移性质，可得

(2-40)

　　由于
　　　

　　因此周期信号的傅里叶变换为

　　　　　(2-41)

　　上式表明，周期信号f(t)的傅里叶变换是由无穷多个冲激函数组成，这些冲激位于信号的各谐波频率n₁(n=0, ±1, …)。每个冲激信号的强度为FS系数F_n的2倍。因此，周期信号的频谱是离散的，在离散的谐频点上具有无限大的频谱值。

　　上面的公式描述了周期信号的傅里叶级数系数与其傅里叶变换之间的关系。下面考虑周期信号的傅里叶系数与相应单个周期内的信号的傅里叶变换之间的关系。

　　设周期信号FS系数为

　　　　　　　　　　　(2-42)
　　设信号在主周期（周期区间()被称为主周期）内的信号为f₀(t)，显然，它是一个非周期的信号，（而非周期信号的傅里叶变换如何求，我们在前面一节刚刚学过了）因此，我们可以求出它的FT频谱为

　　　　　　　　(2-43)
　　将上式与F_n的表示式进行比较，可得

　　　　　　　　　(2-44)

　　上式表明，周期信号的傅里叶系数F_n等于主周期信号在n₁点上的频谱值F₀()乘以1/T₁。

　　例2-8 已知周期单位冲激序列_T(t)为

　　　　　　　　　　　　　　　　

　　式中T₁为周期，n为整数，试求周期单位冲激序列的FS与FT。

　　解：
　　(1) 显然，单个的单位冲激信号(t)是冲激序列的主周期信号，其FT为
　　　　　F₀()=F[(t)]=1
　　利用式（2-44）结论，可求得周期单位冲激序列_T(t)的FS系数F_n为

　　　　　

　　于是，_T(t)的傅里叶级数表示式为

　　　　

　　由此可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含n₁(n=0, ±1, ±2, …)频率分量，每个分量的大小均等于T₁。